8.2 颗粒位置的更新

得到某颗粒在时刻 \(t\) 所受合力后，就可以更新颗粒的位置和角速度 。根据牛顿第二运动定律有：

\[\vec{a_t}=\vec{F_t}/m\]

\[\eta_t=M_t/I\]

其中，\(\vec{a_t}\) 和 \(\eta_t\) 分别表示颗粒在时刻 \(t\) 的平动加速度和角加速度， \(\vec{F_t}\) 和 \(M_t\) 分别为颗粒在该时刻的合力和合力矩，\(m\) 和 \(I\) 分别为颗粒的质量和惯性矩。

假设已知某颗粒在 \(\eta_t\) 时的位置 \(\vec{P_t}\) 和 \(t-\bigtriangleup{t}\) 平动加速度 \(\overrightarrow{v_{t-\bigtriangleup{t}/2}}\) 时的平动速度，则按照跳蛙法有，

\[\overrightarrow{v_{t+\bigtriangleup{t}/2}}=\overrightarrow{v_{t-\bigtriangleup{t}/2}}+\vec{a_t}\cdot\bigtriangleup{t}\]

\[\overrightarrow{P_{t+\bigtriangleup{t}}}=\overrightarrow{P_{t}}+\overrightarrow{v_{t+\bigtriangleup{t}/2}}\cdot\bigtriangleup{t}\]

其中，\(\bigtriangleup{t}\) 为一个时步。

首先，得到颗粒在 \(t+\bigtriangleup{t}/2\) 时的速度 \(\overrightarrow{v_{t+\bigtriangleup{t}/2}}\) ，再得到颗粒在 \(t+\bigtriangleup{t}\) 时的位置 \(\overrightarrow{v_{t+\bigtriangleup{t}/2}}\)。之后，由相应的接触力学模型计算颗粒间的接触力，得到 \(t+\bigtriangleup{t}\) 时颗粒所受合力，通过牛顿第二运动定律求得 \(t+\bigtriangleup{t}\) 的颗粒的平动加速度，就可以更新颗粒 \(t+\bigtriangleup{t}\) 时的位置，这样一直迭代循环下去，直到计算结束。

同理，假设某颗粒在 \(t\) 时的角度为 \(\theta_{t}\) 和角加速度为 \(\eta_t\) ，\(t-\bigtriangleup{t}/2\) 时的角速度为 \(\omega_{t-\bigtriangleup{t}/2}\) ，则按照跳蛙法有，

\[\omega_{t+\bigtriangleup{t}/2}=\omega_{t-\bigtriangleup{t}/2}+\eta_t\cdot\bigtriangleup{t}\]

\[\theta_{t+\bigtriangleup{t}}=\theta_{t}+\omega_{t+\bigtriangleup{t}/2}\cdot\bigtriangleup{t}\]

在接触力学模型部分， 颗粒所受切向力一般由位移增量（颗粒在接触点处的相对速度 \(\times\bigtriangleup{t}\) ）计算得到，不需要颗粒的角度值。如果没有其它特殊需要，可以不更新颗粒的角度，只更新颗粒的角速度即可。